12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் — சமன்பாட்டியல்: ஆன்லைன் பயிற்சித் தேர்வு

Explanation. \( x^{3}+64=0 \) என அமைத்தால் \( x^{3}=-64 \), எனவே \( x=\sqrt[3]{-64}=-4 \). இதுவே ஒரே மெய்யெண் மூலம்; மீதி இரண்டும் கலப்பெண் இணை மூலங்கள். கொடுக்கப்பட்டவற்றுள் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் மதிப்பு \( -4 \) மட்டுமே.

Explanation. சேர்ப்புச் சார்பு \( h(x)=f\big(g(x)\big) \) -ல், \( g(x) \) -ன் அதிக படியுள்ள உறுப்பு \( x^{n} \). அதனை \( m \) படியுள்ள \( f \) -ல் பதிலிட்டால் கிடைக்கும் அதிக படி உறுப்பு \( (x^{n})^{m}=x^{mn} \). எனவே \( h \) -ன் படி \( mn \).

Explanation. இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின்படி, \( n \) படியுள்ள ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கும், பெருக்குத்திறனுடன் எண்ணினால், சரியாக \( n \) கலப்பெண் மூலங்கள் உண்டு. அவை வெவ்வேறாகவோ மீண்டுவருபவையாகவோ, மெய்யாகவோ கற்பனையாகவோ இருக்கலாம்; ஆனால் மொத்த எண்ணிக்கை எப்போதும் \( n \).

Explanation. வியட்டாவின் சூத்திரப்படி \( \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=q \) மற்றும் \( \alpha\beta\gamma=-r \). எனவே \( \displaystyle\sum\frac{1}{\alpha}=\frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}=\frac{q}{-r}=-\frac{q}{r} \).

Explanation. விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, ஒரு சாத்தியமான மூலம் \( \dfrac{p}{q} \) -ல் தொகுதி \( p \) என்பது மாறிலி உறுப்பு \( -5 \) -ன் காரணியாகவும் (\( \pm1,\ \pm5 \)), பகுதி \( q \) என்பது தலைமைக் கெழு \( 4 \) -ன் காரணியாகவும் (\( \pm1,\ \pm2,\ \pm4 \)) இருக்க வேண்டும். \( \dfrac{4}{5} \) -ல் தொகுதி \( 4 \) என்பது \( 5 \) -ன் காரணி அல்ல; பகுதி \( 5 \) என்பது \( 4 \) -ன் காரணி அல்ல. எனவே \( \dfrac{4}{5} \) சாத்தியமான விகிதமுறு மூலம் அல்ல.

Explanation. \( x^{3}-kx^{2}+9x=x\left(x^{2}-kx+9\right) \). எனவே ஒரு மூலம் \( x=0 \). மீதி இரு மூலங்களும் மெய்யாக இருக்க, இருபடி \( x^{2}-kx+9 \) -ன் பண்புகாட்டி பூச்சியமற்ற நேர் மதிப்பாக இருக்க வேண்டும்: \( (-k)^{2}-4(1)(9)=k^{2}-36\ge 0 \), அதாவது \( |k|\ge 6 \).

Explanation. \( \sin^{4}x-2\sin^{2}x+1=\left(\sin^{2}x-1\right)^{2} \). இது பூச்சியமாக \( \sin^{2}x=1 \), அதாவது \( \sin x=\pm 1 \). \( [0,\,2\pi] \) -ல் \( \sin x=1 \) என்பது \( x=\dfrac{\pi}{2} \) -லும், \( \sin x=-1 \) என்பது \( x=\dfrac{3\pi}{2} \) -லும் நிகழும். எனவே மொத்தம் \( 2 \) தீர்வுகள்.

Explanation. \( P(x)=x^{3}+12x^{2}+10ax+1999 \) எனக் கொள்க. \( a\ge 0 \) எனில், எந்த \( x\ge 0 \) -க்கும் \( x^{3},\ 12x^{2},\ 10ax \) எல்லாம் நேர் (\( \ge 0 \)) ஆகும், மேலும் மாறிலி உறுப்பு \( 1999>0 \); எனவே \( P(x)>0 \) ஆகி மிகை மூலம் இருக்காது. ஆகவே மிகை மூலம் இருக்க \( a<0 \) ஆதல் அவசியம். அப்போது கெழுக்களின் குறிகள் \( +,\,+,\,-,\,+ \) ஆகி டெஸ்கார்ட்டே விதிப்படி இரு குறிமாற்றங்கள் (மிகை மூலங்களுக்கான வாய்ப்பு) ஏற்படுகின்றன. எனவே நிபந்தனை \( a<0 \).

Explanation. \( x=-1 \) -ஐ பதிலிட்டால் \( (-1)^{3}+2(-1)+3=0 \); எனவே \( x=-1 \) ஒரு மூலம், மேலும் \( x^{3}+2x+3=(x+1)\left(x^{2}-x+3\right) \). இருபடி \( x^{2}-x+3 \) -ன் பண்புகாட்டி \( (-1)^{2}-4(1)(3)=-11<0 \); எனவே அதன் இரு மூலங்களும் கற்பனை (கலப்பெண்) இணைகள். ஆகவே ஒரு எதிர் மெய்யெண் மூலமும் இரண்டு கற்பனை மூலங்களும் உள்ளன.

Explanation. ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின்படி \( \displaystyle\sum_{j=0}^{n}{}^{n}C_{j}\,(-1)^{j}\,x^{j}=\sum_{j=0}^{n}{}^{n}C_{j}\,(-x)^{j}=(1-x)^{n} \). இதன் ஒரே மூலம் \( x=1 \), அதன் பெருக்குத்திறன் \( n \). \( x=1>0 \) என்பதால் இது மிகை மூலம்; பெருக்குத்திறனுடன் எண்ணினால் மிகை மூலங்களின் எண்ணிக்கை \( n \).