சமன்பாட்டியல் (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்தின் ஒவ்வொரு புத்தகப் பயிற்சி வினாவும் இங்கே — சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
\( x^{3}+64 \) -ன் ஒரு பூச்சியம் (மூலம்)
- A. \( 0 \)
- B. \( 4 \)
- C. \( 4i \)
- D. \( -4 \)சரி
விளக்கம். \( x^{3}+64=0 \) என அமைத்தால் \( x^{3}=-64 \), எனவே \( x=\sqrt[3]{-64}=-4 \). இதுவே ஒரே மெய்யெண் மூலம்; மீதி இரண்டும் கலப்பெண் இணை மூலங்கள். கொடுக்கப்பட்டவற்றுள் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் மதிப்பு \( -4 \) மட்டுமே.
Q2
\( f \) மற்றும் \( g \) முறையே \( m \) மற்றும் \( n \) படிகளைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள்; \( h(x)=(f\circ g)(x) \) எனில், \( h \) -ன் படியானது
- A. \( mn \)சரி
- B. \( m+n \)
- C. \( m^{n} \)
- D. \( n^{m} \)
விளக்கம். சேர்ப்புச் சார்பு \( h(x)=f\big(g(x)\big) \) -ல், \( g(x) \) -ன் அதிக படியுள்ள உறுப்பு \( x^{n} \). அதனை \( m \) படியுள்ள \( f \) -ல் பதிலிட்டால் கிடைக்கும் அதிக படி உறுப்பு \( (x^{n})^{m}=x^{mn} \). எனவே \( h \) -ன் படி \( mn \).
Q3
\( x \) -ல் \( n \) படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு எப்போதும் பெற்றிருப்பவை
- A. \( n \) வெவ்வேறு மூலங்கள்
- B. \( n \) மெய்யெண் மூலங்கள்
- C. \( n \) கலப்பெண் மூலங்கள்சரி
- D. அதிகபட்சம் ஒரு மூலம்
விளக்கம். இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின்படி, \( n \) படியுள்ள ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கும், பெருக்குத்திறனுடன் எண்ணினால், சரியாக \( n \) கலப்பெண் மூலங்கள் உண்டு. அவை வெவ்வேறாகவோ மீண்டுவருபவையாகவோ, மெய்யாகவோ கற்பனையாகவோ இருக்கலாம்; ஆனால் மொத்த எண்ணிக்கை எப்போதும் \( n \).
Q4
\( \alpha,\ \beta,\ \gamma \) என்பன \( x^{3}+px^{2}+qx+r \) -ன் மூலங்கள் எனில், \( \displaystyle\sum \frac{1}{\alpha} \) -ன் மதிப்பு
- A. \( -\dfrac{q}{r} \)சரி
- B. \( -\dfrac{p}{r} \)
- C. \( \dfrac{q}{r} \)
- D. \( -\dfrac{q}{p} \)
விளக்கம். வியட்டாவின் சூத்திரப்படி \( \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=q \) மற்றும் \( \alpha\beta\gamma=-r \). எனவே \( \displaystyle\sum\frac{1}{\alpha}=\frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}=\frac{q}{-r}=-\frac{q}{r} \).
Q5
விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, \( 4x^{7}+2x^{4}-10x^{3}-5 \) -ன் சாத்தியமான விகிதமுறு மூலம் அல்லாதது எது?
- A. \( -1 \)
- B. \( \dfrac{5}{4} \)
- C. \( \dfrac{4}{5} \)சரி
- D. \( 5 \)
விளக்கம். விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, ஒரு சாத்தியமான மூலம் \( \dfrac{p}{q} \) -ல் தொகுதி \( p \) என்பது மாறிலி உறுப்பு \( -5 \) -ன் காரணியாகவும் (\( \pm1,\ \pm5 \)), பகுதி \( q \) என்பது தலைமைக் கெழு \( 4 \) -ன் காரணியாகவும் (\( \pm1,\ \pm2,\ \pm4 \)) இருக்க வேண்டும். \( \dfrac{4}{5} \) -ல் தொகுதி \( 4 \) என்பது \( 5 \) -ன் காரணி அல்ல; பகுதி \( 5 \) என்பது \( 4 \) -ன் காரணி அல்ல. எனவே \( \dfrac{4}{5} \) சாத்தியமான விகிதமுறு மூலம் அல்ல.
Q6
\( x^{3}-kx^{2}+9x \) -க்கு மூன்று மெய்யெண் மூலங்கள் இருக்க வேண்டுமெனில், \( k \) நிறைவு செய்ய வேண்டிய நிபந்தனை
- A. \( |k|\le 6 \)
- B. \( k=0 \)
- C. \( |k|>6 \)
- D. \( |k|\ge 6 \)சரி
விளக்கம். \( x^{3}-kx^{2}+9x=x\left(x^{2}-kx+9\right) \). எனவே ஒரு மூலம் \( x=0 \). மீதி இரு மூலங்களும் மெய்யாக இருக்க, இருபடி \( x^{2}-kx+9 \) -ன் பண்புகாட்டி பூச்சியமற்ற நேர் மதிப்பாக இருக்க வேண்டும்: \( (-k)^{2}-4(1)(9)=k^{2}-36\ge 0 \), அதாவது \( |k|\ge 6 \).
Q7
\( [0,\,2\pi] \) இடைவெளியில் \( \sin^{4}x-2\sin^{2}x+1=0 \) -ஐ நிறைவு செய்யும் மெய்யெண்களின் எண்ணிக்கை
- A. \( 2 \)சரி
- B. \( 4 \)
- C. \( 1 \)
- D. \( \infty \)
விளக்கம். \( \sin^{4}x-2\sin^{2}x+1=\left(\sin^{2}x-1\right)^{2} \). இது பூச்சியமாக \( \sin^{2}x=1 \), அதாவது \( \sin x=\pm 1 \). \( [0,\,2\pi] \) -ல் \( \sin x=1 \) என்பது \( x=\dfrac{\pi}{2} \) -லும், \( \sin x=-1 \) என்பது \( x=\dfrac{3\pi}{2} \) -லும் நிகழும். எனவே மொத்தம் \( 2 \) தீர்வுகள்.
Q8
\( x^{3}+12x^{2}+10ax+1999 \) -க்கு உறுதியாக ஒரு மிகை (நேர்) மூலம் இருக்க வேண்டுமெனில்
- A. \( a\ge 0 \)
- B. \( a>0 \)
- C. \( a<0 \)சரி
- D. \( a\le 0 \)
விளக்கம். \( P(x)=x^{3}+12x^{2}+10ax+1999 \) எனக் கொள்க. \( a\ge 0 \) எனில், எந்த \( x\ge 0 \) -க்கும் \( x^{3},\ 12x^{2},\ 10ax \) எல்லாம் நேர் (\( \ge 0 \)) ஆகும், மேலும் மாறிலி உறுப்பு \( 1999>0 \); எனவே \( P(x)>0 \) ஆகி மிகை மூலம் இருக்காது. ஆகவே மிகை மூலம் இருக்க \( a<0 \) ஆதல் அவசியம். அப்போது கெழுக்களின் குறிகள் \( +,\,+,\,-,\,+ \) ஆகி டெஸ்கார்ட்டே விதிப்படி இரு குறிமாற்றங்கள் (மிகை மூலங்களுக்கான வாய்ப்பு) ஏற்படுகின்றன. எனவே நிபந்தனை \( a<0 \).
Q9
\( x^{3}+2x+3 \) என்ற பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு உள்ளவை
- A. ஒரு எதிர் (குறை) மூலமும் இரண்டு கற்பனை மூலங்களும்சரி
- B. ஒரு மிகை (நேர்) மூலமும் இரண்டு கற்பனை மூலங்களும்
- C. மூன்று மெய்யெண் மூலங்கள்
- D. மூலங்களே இல்லை
விளக்கம். \( x=-1 \) -ஐ பதிலிட்டால் \( (-1)^{3}+2(-1)+3=0 \); எனவே \( x=-1 \) ஒரு மூலம், மேலும் \( x^{3}+2x+3=(x+1)\left(x^{2}-x+3\right) \). இருபடி \( x^{2}-x+3 \) -ன் பண்புகாட்டி \( (-1)^{2}-4(1)(3)=-11<0 \); எனவே அதன் இரு மூலங்களும் கற்பனை (கலப்பெண்) இணைகள். ஆகவே ஒரு எதிர் மெய்யெண் மூலமும் இரண்டு கற்பனை மூலங்களும் உள்ளன.
Q10
\( \displaystyle\sum_{j=0}^{n}{}^{n}C_{j}\,(-1)^{j}\,x^{j} \) என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் மிகை (நேர்) மூலங்களின் எண்ணிக்கை
- A. \( 0 \)
- B. \( n \)சரி
- C. \(
- D. \( r \)
விளக்கம். ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின்படி \( \displaystyle\sum_{j=0}^{n}{}^{n}C_{j}\,(-1)^{j}\,x^{j}=\sum_{j=0}^{n}{}^{n}C_{j}\,(-x)^{j}=(1-x)^{n} \). இதன் ஒரே மூலம் \( x=1 \), அதன் பெருக்குத்திறன் \( n \). \( x=1>0 \) என்பதால் இது மிகை மூலம்; பெருக்குத்திறனுடன் எண்ணினால் மிகை மூலங்களின் எண்ணிக்கை \( n \).
