வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் — படிப்புக் குறிப்புகள்

1. நேரியல் தோராய மதிப்பு (Linear Approximation)

ஒரு வகையிடத்தக்க சார்பு \(f\)-ஐ, \(x_0\) என்ற புள்ளிக்கு அருகில் ஒரு நேர்கோட்டால் தோராயமாக மாற்றலாம். இந்த நேர்கோடு, \(\bigl(x_0, f(x_0)\bigr)\) புள்ளியில் வரையப்படும் தொடுகோடாகும். நேரியல் தோராய மதிப்புச் சார்பு:

\[ L(x) = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0). \]

\(x\) ஆனது \(x_0\)-க்கு அருகில் இருக்கும்போது \(f(x) \approx L(x)\). கால்குலேட்டர் இல்லாமல் மதிப்புகளைக் கணக்கிட இது மிகவும் பயனுள்ளது.

2. வகையீடு (Differential)

\(\Delta x = dx\) என்ற சிறிய மாற்றத்திற்கு, சார்பின் வகையீடு:

\[ df = f'(x)\,dx. \]

இங்கு \(df\) என்பது தொடுகோட்டின் மீது ஏற்படும் மாற்றம்; \(\Delta f = f(x+\Delta x) - f(x)\) என்பது சார்பின் உண்மையான மாற்றம். \(dx\) சிறியதாக இருக்கும்போது \(\Delta f \approx df\).

3. பிழைகள் (Errors)

• தனிப்பிழை \(= \lvert \text{மெய்மதிப்பு} - \text{தோராய மதிப்பு} \rvert\).
• சார்பிழை \(= \dfrac{\lvert \text{மெய்மதிப்பில் மாற்றம} \rvert}{\text{மெய்மதிப்பு}} \approx \dfrac{df}{f}\).
• சதவீதப் பிழை \(= \text{சார்பிழை} \times 100\).

முக்கிய குறிப்பு: \(f = x^n\) வடிவில் இருந்தால் \(\dfrac{df}{f} = n\,\dfrac{dx}{x}\). எனவே அடுக்கு \(n\) என்பதே சதவீதப் பிழையின் மடங்கைத் தீர்மானிக்கிறது (எ.கா. பரப்பு \(\Rightarrow n=2\), கன அளவு \(\Rightarrow n=3\), \(m\)-ஆம் படி மூலம் \(\Rightarrow n=\tfrac{1}{m}\)).

4. பகுதி வகைக்கெழுக்கள் (Partial Derivatives)

இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சார்பு \(F(x,y)\)-க்கு, ஒரு மாறியை மட்டும் மாறுவதாகவும் மற்றொன்றை மாறிலியாகவும் கருதி வகையிடுவதே பகுதி வகைக்கெழு:

\[ \frac{\partial F}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h,\,y) - F(x,y)}{h}, \qquad \frac{\partial F}{\partial y} = \lim_{k \to 0} \frac{F(x,\,y+k) - F(x,y)}{k}. \]

\(\dfrac{\partial F}{\partial x}\)-ஐக் காணும்போது \(y\)-ஐ மாறிலியாகக் கருதவும்; \(\dfrac{\partial F}{\partial y}\)-ஐக் காணும்போது \(x\)-ஐ மாறிலியாகக் கருதவும்.

5. உயர் படி பகுதி வகைக்கெழுக்கள்

இரண்டாம் படி பகுதி வகைக்கெழுக்கள்: \(f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}, f_{yx}\). கிளைரோட்டின் தேற்றம் (Clairaut's Theorem): \(f_{xy}\) மற்றும் \(f_{yx}\) தொடர்ச்சியானவையாக இருந்தால், அவை சமம்: \(f_{xy} = f_{yx}\). எனவே வகையீட்டின் வரிசை முக்கியமல்ல.

6. பல மாறி சார்புகளின் நேரியல் தோராயம் மற்றும் வகையீடு

\((x_0,y_0)\) புள்ளியில் \(F(x,y)\)-ன் நேரியல் தோராயம்:

\[ L(x,y) = F(x_0,y_0) + \left.\frac{\partial F}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}(x-x_0) + \left.\frac{\partial F}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}(y-y_0). \]

முழு வகையீடு (total differential): \( dF = \dfrac{\partial F}{\partial x}\,dx + \dfrac{\partial F}{\partial y}\,dy \). மூன்று மாறிகளுக்கு \(dz\) உறுப்பும் சேரும்.

7. சங்கிலி விதி (Chain Rule)

\(W = W(x,y)\) மற்றும் \(x, y\) இரண்டும் \(t\)-ன் சார்புகள் எனில்:

\[ \frac{dW}{dt} = \frac{\partial W}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial W}{\partial y}\frac{dy}{dt}. \]

\(x = x(s,t),\ y = y(s,t)\) எனில் \(\dfrac{\partial W}{\partial s}\) மற்றும் \(\dfrac{\partial W}{\partial t}\)-க்கு ஒத்த வடிவங்கள் கிடைக்கும்.

8. சமப்படித்தான சார்புகள் & ஆய்லரின் தேற்றம் (Euler's Theorem)

\(F(tx,ty) = t^{p}F(x,y)\) என அமைந்தால் \(F\) என்பது \(p\)-ஆம் படியுள்ள சமப்படித்தான சார்பு. ஆய்லரின் தேற்றம்:

\[ x\frac{\partial F}{\partial x} + y\frac{\partial F}{\partial y} = pF. \]

9. லாப்லாஸ் சமன்பாடு (Laplace's Equation)

\(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\) எனும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் சார்பு சீரானது (harmonic) எனப்படும்.

தேர்வுக் கண்ணிகள் (பொதுவான தவறுகள்)

• \(w = x^y\)-ஐ \(x\)-ஐப் பொறுத்து வகையிடும்போது \(y\) மாறிலி — எனவே விடை \(y\,x^{y-1}\), \(x^{y}\log x\) அல்ல.
• சதவீதப் பிழையில் அடுக்கை மறக்காதீர்கள்: பரப்புக்கு \(\times 2\), கன அளவுக்கு \(\times 3\).
• நேரியல் தோராயத்தில் \(g'(a)\)-ன் குறி (\(-\sin\), முதலியன) கவனமாகக் கையாளவும்.
• கலப்பு பகுதி வகைக்கெழு \(f_{xy}\) காணும்போது பெருக்கல்/ஈவு விதியைத் தவறவிடாதீர்கள்.
• முழு வகையீட்டில் ஒவ்வொரு மாறிக்கும் ஒரு உறுப்பு வேண்டும் — எதையும் விட்டுவிடாதீர்கள்.