வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்தின் ஒவ்வொரு புத்தகப் பயிற்சி வினாவும் இங்கே — சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
ஒரு வட்ட வடிவ வார்ப்பின் ஆரம் \(10\) செ.மீ. ஆரத்தின் அளவில் தோராயமாக \(0.02\) செ.மீ பிழை உள்ளது எனில், அதன் பரப்பில் ஏற்படும் தோராய சதவீதப் பிழை என்ன?
- A. \(0.2\%\)
- B. \(0.4\%\)சரி
- C. \(0.04\%\)
- D. \(0.08\%\)
விளக்கம். வட்டப் பரப்பு \(A = \pi r^2\). வகையிட்டால் \(\dfrac{dA}{A} = \dfrac{2\,dr}{r}\) என்பதால், பரப்பின் சார்பிழை, ஆரத்தின் சார்பிழையைப் போல் இரு மடங்கு ஆகும். எனவே சதவீதப் பிழை \(= 2 \times \dfrac{dr}{r} \times 100 = 2 \times \dfrac{0.02}{10} \times 100 = 0.4\%\). ஆரத்தின் அடுக்கு \(2\) என்பதால் சதவீதப் பிழையும் இரட்டிப்பாகிறது என்பதை இங்கு கவனிக்கவும்.
Q2
\(31\)-ன் \(5\)ஆம் படி மூலத்தின் சதவீதப் பிழை, \(31\)-ன் சதவீதப் பிழையைப் போல் தோராயமாக எத்தனை மடங்காகும்?
- A. \(\dfrac{1}{31}\)
- B. \(\dfrac{1}{5}\)சரி
- C. \(5\)
- D. \(31\)
விளக்கம். \(y = x^{1/5}\) என்க. மடக்கை எடுத்து வகையிட்டால் \(\dfrac{dy}{y} = \dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{dx}{x}\) கிடைக்கும். எனவே \(y = \sqrt[5]{x}\)-ன் சார்பிழை (மற்றும் சதவீதப் பிழை), \(x\)-ன் சார்பிழையில் \(\dfrac{1}{5}\) மடங்கு ஆகும். அடுக்கு \(\dfrac{1}{5}\) என்பதே இந்த மடங்கைத் தீர்மானிக்கிறது.
Q3
\(u(x,y) = e^{x^2+y^2}\) எனில், \(\dfrac{\partial u}{\partial x}\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(e^{x^2+y^2}\)
- B. \(2xu\)சரி
- C. \(x^2 u\)
- D. \(y^2 u\)
விளக்கம். \(y\)-ஐ மாறிலியாகக் கருதி \(x\)-ஐப் பொறுத்து வகையிடுகிறோம். \(x^2+y^2\)-ஐ \(x\)-ஐப் பொறுத்து வகையிட்டால் \(2x\) கிடைக்கும். சங்கிலி விதிப்படி \(\dfrac{\partial u}{\partial x} = e^{x^2+y^2}\cdot 2x = 2x\,e^{x^2+y^2}\). \(u = e^{x^2+y^2}\) என்பதால் இதை \(2xu\) எனச் சுருக்கமாக எழுதலாம்.
Q4
\(v(x,y) = \log\!\left(e^{x}+e^{y}\right)\) எனில், \(\dfrac{\partial v}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y}\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(e^{x}+e^{y}\)
- B. \(\dfrac{1}{e^{x}+e^{y}}\)
- C. \(2\)
- D. \(1\)சரி
விளக்கம். \(\dfrac{\partial v}{\partial x} = \dfrac{e^{x}}{e^{x}+e^{y}}\) மற்றும் \(\dfrac{\partial v}{\partial y} = \dfrac{e^{y}}{e^{x}+e^{y}}\). இவற்றைக் கூட்டினால் தொகுதி \(e^{x}+e^{y}\) ஆகி, பகுதியுடன் சமமாகிறது: \(\dfrac{e^{x}+e^{y}}{e^{x}+e^{y}} = 1\). எனவே விடை \(1\).
Q5
\(w(x,y) = x^{y},\ x>0\) எனில், \(\dfrac{\partial w}{\partial x}\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(x^{y}\log x\)
- B. \(y\log x\)
- C. \(y\,x^{y-1}\)சரி
- D. \(x\log y\)
விளக்கம். \(x\)-ஐப் பொறுத்து பகுதி வகைக்கெழு காணும்போது \(y\)-ஐ மாறிலியாகக் கருதுகிறோம். எனவே \(x^{y}\) என்பது அடுக்கு மாறிலியான வழக்கமான அடுக்குச் சார்பாகச் செயல்படுகிறது. அடுக்கு விதிப்படி \(\dfrac{\partial w}{\partial x} = y\,x^{y-1}\). (இங்கு \(y\) அடுக்கில் இருந்தாலும் அது மாறிலி என்பதால் \(x^{y}\log x\) எனும் வடிவம் வராது.)
Q6
\(f(x,y) = e^{xy}\) எனில், \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(xy\,e^{xy}\)
- B. \((1+xy)\,e^{xy}\)சரி
- C. \((1+y)\,e^{xy}\)
- D. \((1+x)\,e^{xy}\)
விளக்கம். முதலில் \(y\)-ஐப் பொறுத்து வகையிட்டால் \(\dfrac{\partial f}{\partial y} = x\,e^{xy}\). அடுத்து இதை \(x\)-ஐப் பொறுத்து வகையிட பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்: \(\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(x\,e^{xy}\right) = 1\cdot e^{xy} + x\cdot y\,e^{xy} = (1+xy)\,e^{xy}\). எனவே விடை \((1+xy)e^{xy}\).
Q7
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு \(4\) செ.மீ மற்றும் அதன் பிழை \(0.1\) செ.மீ எனில், கன அளவு கணக்கீட்டில் ஏற்படும் பிழை என்ன?
- A. \(0.4\) கன செ.மீ
- B. \(0.45\) கன செ.மீ
- C. \(2\) கன செ.மீ
- D. \(4.8\) கன செ.மீசரி
விளக்கம். கன அளவு \(V = a^3\). வகையீடு \(dV = 3a^2\,da\). இங்கு \(a = 4,\ da = 0.1\) எனப் பதிலிட்டால் \(dV = 3 \times 4^2 \times 0.1 = 3 \times 16 \times 0.1 = 4.8\) கன செ.மீ. எனவே கன அளவில் ஏற்படும் தோராய பிழை \(4.8\) கன செ.மீ.
Q8
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு \(x_0\)-இலிருந்து \(x_0 + dx\) ஆக மாறும்போது, அதன் முழுப் பரப்பளவு \(S = 6x^2\)-இல் ஏற்படும் மாற்றம் என்ன?
- A. \(12x_0 + dx\)
- B. \(12x_0\,dx\)சரி
- C. \(6x_0\,dx\)
- D. \(6x_0 + dx\)
விளக்கம். முழுப் பரப்பளவு \(S = 6x^2\). வகையீட்டின் மூலம் \(dS = \dfrac{dS}{dx}\,dx = 12x\,dx\). \(x = x_0\) என்ற புள்ளியில் இதை மதிப்பிட்டால் பரப்பில் ஏற்படும் தோராய மாற்றம் \(dS = 12x_0\,dx\) ஆகும்.
Q9
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு \(1\%\) அதிகரிக்கும்போது, அதன் கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம் என்ன?
- A. \(0.3\,x\,dx\) கன அலகுகள்
- B. \(0.03\,x\) கன அலகுகள்
- C. \(0.03\,x^2\) கன அலகுகள்
- D. \(0.03\,x^3\) கன அலகுகள்சரி
விளக்கம். கன அளவு \(V = x^3\), எனவே \(dV = 3x^2\,dx\). பக்கம் \(1\%\) அதிகரிப்பதால் \(dx = \dfrac{1}{100}x = 0.01x\). இதைப் பதிலிட்டால் \(dV = 3x^2 \times 0.01x = 0.03\,x^3\) கன அலகுகள். எனவே கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம் \(0.03\,x^3\).
Q10
\(g(x,y) = 3x^2 - 5y + 2y^2\), \(x(t) = e^{t}\) மற்றும் \(y(t) = \cos t\) எனில், \(\dfrac{dg}{dt}\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(6e^{2t} + 5\sin t - 4\cos t\,\sin t\)சரி
- B. \(6e^{2t} - 5\sin t + 4\cos t\,\sin t\)
- C. \(3e^{2t} + 5\sin t + 4\cos t\,\sin t\)
- D. \(3e^{2t} - 5\sin t + 4\cos t\,\sin t\)
விளக்கம். சங்கிலி விதிப்படி \(\dfrac{dg}{dt} = \dfrac{\partial g}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial g}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}\). இங்கு \(\dfrac{\partial g}{\partial x} = 6x,\ \dfrac{\partial g}{\partial y} = -5 + 4y\) மற்றும் \(\dfrac{dx}{dt} = e^{t},\ \dfrac{dy}{dt} = -\sin t\). எனவே \(\dfrac{dg}{dt} = 6x\,e^{t} + (-5+4y)(-\sin t)\). \(x = e^{t},\ y = \cos t\) எனப் பதிலிட்டால் \(\dfrac{dg}{dt} = 6e^{2t} + 5\sin t - 4\cos t\,\sin t\).
Q11
\(f(x) = \dfrac{x}{x+1}\) எனில், அதன் வகையீடு \(df\) என்ன?
- A. \(\dfrac{-1}{(x+1)^2}\,dx\)
- B. \(\dfrac{1}{(x+1)^2}\,dx\)சரி
- C. \(\dfrac{1}{x+1}\,dx\)
- D. \(\dfrac{-1}{x+1}\,dx\)
விளக்கம். ஒரு மாறி சார்பின் வகையீடு \(df = f'(x)\,dx\). ஈவு விதிப்படி \(f'(x) = \dfrac{(x+1)\cdot 1 - x\cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2}\). எனவே \(df = \dfrac{1}{(x+1)^2}\,dx\).
Q12
\(u(x,y) = x^2 + 3xy + y - 2019\) எனில், \(\left.\dfrac{\partial u}{\partial x}\right|_{(4,-5)}\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(-4\)
- B. \(-3\)
- C. \(-7\)சரி
- D. \(13\)
விளக்கம். \(y\)-ஐ மாறிலியாகக் கருதி \(x\)-ஐப் பொறுத்து வகையிட்டால் \(\dfrac{\partial u}{\partial x} = 2x + 3y\) (மாறிலி \(-2019\)-ன் வகைக்கெழு பூச்சியம்). \((4,-5)\) என்ற புள்ளியில் \(\dfrac{\partial u}{\partial x} = 2(4) + 3(-5) = 8 - 15 = -7\).
Q13
சார்பு \(g(x) = \cos x\)-ன் \(x = \dfrac{\pi}{2}\) என்ற புள்ளியில் நேரியல் தோராய மதிப்பு (linear approximation) என்ன?
- A. \(x + \dfrac{\pi}{2}\)
- B. \(-x + \dfrac{\pi}{2}\)சரி
- C. \(x - \dfrac{\pi}{2}\)
- D. \(-x - \dfrac{\pi}{2}\)
விளக்கம். நேரியல் தோராய மதிப்பு \(L(x) = g(a) + g'(a)(x-a)\), இங்கு \(a = \dfrac{\pi}{2}\). \(g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\dfrac{\pi}{2} = 0\) மற்றும் \(g'(x) = -\sin x\) என்பதால் \(g'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{2} = -1\). எனவே \(L(x) = 0 + (-1)\!\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -x + \dfrac{\pi}{2}\).
Q14
\(w(x,y,z) = x^2(y-z) + y^2(z-x) + z^2(x-y)\) எனில், \(\dfrac{\partial w}{\partial x} + \dfrac{\partial w}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z}\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(xy + yz + zx\)
- B. \(x(y+z)\)
- C. \(y(z+x)\)
- D. \(0\)சரி
விளக்கம். ஒவ்வொரு மாறியையும் பொறுத்து வகையிடுகிறோம்: \(\dfrac{\partial w}{\partial x} = 2x(y-z) - y^2 + z^2\); \(\dfrac{\partial w}{\partial y} = x^2 + 2y(z-x) - z^2\); \(\dfrac{\partial w}{\partial z} = -x^2 + y^2 + 2z(x-y)\). இம்மூன்றையும் கூட்டினால் ஒவ்வொரு உறுப்பும் எதிர் உறுப்போடு நீங்கி கூட்டுத்தொகை \(0\) ஆகிறது. எனவே விடை \(0\).
Q15
\(f(x,y,z) = xy + yz + zx\) எனில், \(f_x - f_z\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(z - x\)சரி
- B. \(y - z\)
- C. \(x - z\)
- D. \(y - x\)
விளக்கம். பகுதி வகைக்கெழுக்கள்: \(f_x = y + z\) (\(x\)-ஐப் பொறுத்து) மற்றும் \(f_z = y + x\) (\(z\)-ஐப் பொறுத்து). எனவே \(f_x - f_z = (y+z) - (y+x) = z - x\).
