அணிகள் & அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் — சூத்திரத் தொகுப்பு

சேர்ப்பு அணி & கோவை

• \( A(\operatorname{adj} A) = (\operatorname{adj} A)A = \lvert A \rvert\, I_{n} \)
• \( \lvert \operatorname{adj} A \rvert = \lvert A \rvert^{\,n-1} \)
• \( \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = \lvert A \rvert^{\,n-2}\,A \)
• \( \lvert \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) \rvert = \lvert A \rvert^{(n-1)^{2}} \)
• \( \operatorname{adj}(kA) = k^{\,n-1}\operatorname{adj} A \)
• \( \operatorname{adj}(AB) = (\operatorname{adj} B)(\operatorname{adj} A) \)
• \( (\operatorname{adj} A)^{T} = \operatorname{adj}(A^{T}) \)

நேர்மாறு அணி

• \( A^{-1} = \dfrac{1}{\lvert A \rvert}\operatorname{adj} A,\quad \lvert A \rvert \neq 0 \)
• \( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \)
• \( (A^{-1})^{-1} = A \)
• \( (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T} \)
• \( (kA)^{-1} = \dfrac{1}{k}A^{-1} \)
• \( \lvert A^{-1} \rvert = \dfrac{1}{\lvert A \rvert} \)

\( 2 \times 2 \) அணிக்கு

\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) எனில்:

\[ \lvert A \rvert = ad - bc, \qquad \operatorname{adj} A = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}. \]

கோவைப் பெருக்கல்

• \( \det(AB) = \det(A)\,\det(B) \)
• \( \lvert kA \rvert = k^{\,n}\lvert A \rvert \) (\( n \times n \) அணி)
• \( \lvert A^{T} \rvert = \lvert A \rvert \)

தரம் & தீர்வுகள்

• \( \rho(A) = \rho(A^{T}) \)
• \( m \times n \) அணிக்கு \( \rho(A) \le \min(m,n) \)
• தனித்த தீர்வு: \( \rho(A) = \rho([A\mid B]) = n \) (மாறிகள்)
• எண்ணற்ற தீர்வுகள்: \( \rho(A) = \rho([A\mid B]) < n \); அளபுருக்கள் \( = n - \rho(A) \)
• தீர்வே இல்லை: \( \rho(A) < \rho([A\mid B]) \)

கிராமரின் விதி (\( AX = B \), \( \Delta = \lvert A \rvert \neq 0 \))

\[ x = \frac{\Delta_{1}}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_{2}}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_{3}}{\Delta}, \]

இங்கு \( \Delta_{i} \) என்பது கெழு அணியின் \( i \) -ஆவது நிரலை மாறிலி நிரல் \( B \) ஆல் மாற்றிப் பெறப்படும் கோவை.

ஒருபடித் தொகுப்பு \( AX = O \)

• \( \lvert A \rvert \neq 0 \Rightarrow \) வெளிப்படைத் தீர்வு \( X = O \) மட்டும்.
• \( \lvert A \rvert = 0 \Rightarrow \) வெளிப்படையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.

சங்கேத மொழியியல்

\[ C = M A \ (\text{சங்கேதம்}), \qquad M = C A^{-1} \ (\text{மொழிமாற்றம்}). \]