12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் — வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள்: ஆன்லைன் பயிற்சித் தேர்வு

Explanation. கோளத்தின் கன அளவு \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\). காலத்தைப் பொறுத்து வகையிட்டால் \(\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\,\dfrac{dr}{dt}\). கொடுக்கப்பட்டவை \(\dfrac{dV}{dt}=3\pi\) மற்றும் \(r=\dfrac{1}{2}\). எனவே \(3\pi=4\pi\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\dfrac{dr}{dt}=\pi\,\dfrac{dr}{dt}\). இதிலிருந்து \(\dfrac{dr}{dt}=3\) செ.மீ/வி. சரியான விடை விருப்பம் (1).

Explanation. உயரத்தை \(h\) எனவும் ஏற்றக் கோணத்தை \(\theta\) எனவும் கொண்டால் \(\tan\theta=\dfrac{h}{40}\). வகையிட்டால் \(\sec^{2}\theta\,\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{1}{40}\,\dfrac{dh}{dt}\). \(h=30\) ஆக இருக்கும்போது செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம் \(\sqrt{40^{2}+30^{2}}=50\), எனவே \(\sec\theta=\dfrac{50}{40}\) மற்றும் \(\sec^{2}\theta=\dfrac{2500}{1600}\). \(\dfrac{dh}{dt}=10\) ஐப் பதிலிட \(\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{1}{40}\times10\times\dfrac{1600}{2500}=\dfrac{4}{25}\) ரேடியன்/வி. சரியான விடை விருப்பம் (2).

Explanation. திசைவேகம் \(v(t)=\dfrac{ds}{dt}=6t-2\). ஓய்வு நிலையில் \(v=0\). எனவே \(6t-2=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{3}\). சரியான விடை விருப்பம் (2).

Explanation. திசைவேகம் \(\dfrac{dx}{dt}=80-32t\). அதிகபட்ச உயரத்தில் திசைவேகம் பூஜ்ஜியமாகும்: \(80-32t=0\Rightarrow t=\dfrac{80}{32}=2.5\). சரியான விடை விருப்பம் (2).

Explanation. \(6y=x^{3}+2\) ஐ வகையிட்டால் \(6\dfrac{dy}{dt}=3x^{2}\dfrac{dx}{dt}\), அதாவது \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{x^{2}}{2}\dfrac{dx}{dt}\). கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை \(\dfrac{dy}{dt}=8\dfrac{dx}{dt}\), எனவே \(\dfrac{x^{2}}{2}=8\Rightarrow x^{2}=16\Rightarrow x=\pm4\). \(x=4\) எனில் \(y=\dfrac{64+2}{6}=11\), புள்ளி \((4,11)\). \(x=-4\) எனில் \(y=\dfrac{-64+2}{6}=-\dfrac{31}{3}\) (முழு எண் அல்ல). எனவே சரியான விடை விருப்பம் (1).

Explanation. \(f(x)=(8-2x)^{1/2}\) எனில் \(f'(x)=\dfrac{1}{2}(8-2x)^{-1/2}\cdot(-2)=\dfrac{-1}{\sqrt{8-2x}}\). சாய்வு \(-0.25=-\dfrac{1}{4}\) எனில் \(\dfrac{-1}{\sqrt{8-2x}}=-\dfrac{1}{4}\Rightarrow\sqrt{8-2x}=4\Rightarrow8-2x=16\Rightarrow x=-4\). சரியான விடை விருப்பம் (2).

Explanation. \(f'(x)=-8\sin 4x\). \(x=\dfrac{\pi}{12}\) எனில் \(4x=\dfrac{\pi}{3}\), \(\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). தொடுகோட்டின் சாய்வு \(m=-8\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-4\sqrt{3}\). செங்கோட்டின் சாய்வு \(=-\dfrac{1}{m}=\dfrac{1}{4\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{12}\). சரியான விடை விருப்பம் (3).

Explanation. \(y^{2}-xy+9=0\) ஐ உள்ளார்ந்து வகையிட்டால் \(2y\dfrac{dy}{dx}-y-x\dfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{2y-x}\). தொடுகோடு நிலைக்குத்தாக இருக்க \(\dfrac{dy}{dx}\) வரையறுக்கப்படாமல் இருக்க வேண்டும், அதாவது \(2y-x=0\Rightarrow x=2y\). இதைச் சமன்பாட்டில் பதிலிட்டால் \(y^{2}-(2y)y+9=0\Rightarrow -y^{2}+9=0\Rightarrow y=\pm3\). சரியான விடை விருப்பம் (4).

Explanation. ஆதிப்புள்ளி \((0,0)\)-ல் \(y^{2}=x\)-ன் தொடுகோடு \(x=0\) (நிலைக்குத்து), \(x^{2}=y\)-ன் தொடுகோடு \(y=0\) (கிடைமட்டம்). ஒன்று நிலைக்குத்தாகவும் மற்றொன்று கிடைமட்டமாகவும் இருப்பதால் இவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(\dfrac{\pi}{2}\). சரியான விடை விருப்பம் (3).

Explanation. \(\cot x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x\sin x}\). இது \(x\to0\)-ல் \(\dfrac{0}{0}\) வடிவம். தொடரிணை விரிவின்படி \(x\cos x-\sin x\approx-\dfrac{x^{3}}{3}\) மற்றும் \(x\sin x\approx x^{2}\), எனவே விகிதம் \(\approx-\dfrac{x}{3}\to0\). சரியான விடை விருப்பம் (1).

Explanation. \(g(x)=\sin^{4}x+\cos^{4}x=1-\dfrac{1}{2}\sin^{2}2x\). \(g'(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot2\sin 2x\cdot2\cos 2x=-\sin 4x\). சார்பு இறங்க \(g'(x)<0\), அதாவது \(\sin 4x>0\). \(\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right]\)-ல் \(4x\in[\pi,2\pi]\)… இதில் \(x=\dfrac{\pi}{4}\) முதல் \(g\) குறைந்து \(x=\dfrac{\pi}{2}\)-ல் சிறுமம் அடைகிறது; கொடுக்கப்பட்ட விருப்பங்களில் சார்பு இறங்கும் இடைவெளி \(\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right]\). சரியான விடை விருப்பம் (3).

Explanation. \(f(0)=0\) மற்றும் \(f(3)=27-27=0\), எனவே \(f(0)=f(3)\) — ரோலின் தேற்றத்தின் நிபந்தனை நிறைவாகிறது. \(f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)=0\Rightarrow x=0\) அல்லது \(x=2\). \((0,3)\)-க்குள் இருக்கும் மதிப்பு \(c=2\). சரியான விடை விருப்பம் (4).

Explanation. சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி \(f'(c)=\dfrac{f(9)-f(1)}{9-1}=\dfrac{\frac{1}{9}-1}{8}=\dfrac{-\frac{8}{9}}{8}=-\dfrac{1}{9}\). \(f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\), எனவே \(-\dfrac{1}{c^{2}}=-\dfrac{1}{9}\Rightarrow c^{2}=9\Rightarrow c=3\) (ஏனெனில் \(c\in[1,9]\)). சரியான விடை விருப்பம் (3).

Explanation. \(|3-x|\ge0\) எப்போதும், மேலும் \(x=3\)-ல் \(|3-x|=0\) என்ற சிறும மதிப்பை அடைகிறது. எனவே \(f\)-ன் சிறும மதிப்பு \(0+9=9\). சரியான விடை விருப்பம் (4).

Explanation. சாய்வு \(m=\dfrac{dy}{dx}=e^{x}(\sin x+\cos x)\). மீப்பெரு சாய்வைக் காண \(\dfrac{dm}{dx}=0\) ஆக்க வேண்டும்: \(\dfrac{dm}{dx}=e^{x}(\sin x+\cos x)+e^{x}(\cos x-\sin x)=2e^{x}\cos x=0\Rightarrow\cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\). \(x=\dfrac{\pi}{2}\)-ல் \(m=e^{\pi/2}(1+0)>0\) (மீப்பெரு); \(x=\dfrac{3\pi}{2}\)-ல் \(m<0\). எனவே மீப்பெரு சாய்வு \(x=\dfrac{\pi}{2}\)-ல் அமையும். சரியான விடை விருப்பம் (2).

Explanation. \(f'(x)=2xe^{-2x}+x^{2}(-2)e^{-2x}=2xe^{-2x}(1-x)\). \(x>0\)-க்கு \(f'(x)=0\Rightarrow x=1\). \(x<1\)-ல் \(f'>0\), \(x>1\)-ல் \(f'<0\), எனவே \(x=1\) ஒரு மீப்பெரு புள்ளி. \(f(1)=1^{2}e^{-2}=\dfrac{1}{e^{2}}\). சரியான விடை விருப்பம் (3).

Explanation. வளைவரை மீதுள்ள புள்ளி \((x,y)\)-க்கு \(y^{2}=x^{2}-4\). \((6,0)\)-லிருந்து தொலைவின் வர்க்கம் \(D^{2}=(x-6)^{2}+y^{2}=(x-6)^{2}+x^{2}-4\). \(\dfrac{d(D^{2})}{dx}=2(x-6)+2x=4x-12=0\Rightarrow x=3\). அப்போது \(y^{2}=9-4=5\Rightarrow y=\sqrt{5}\). எனவே அருகிலுள்ள புள்ளி \(\left(3,\sqrt{5}\right)\). சரியான விடை விருப்பம் (3).

Explanation. \(x,y>0\) மற்றும் \(x^{2}+y^{2}=200\) எனக் கொண்டால், \(P=xy\) என்ற பெருக்கல் பலனை மீப்பெரு ஆக்க வேண்டும். \(P^{2}=x^{2}y^{2}=x^{2}(200-x^{2})\). \(u=x^{2}\) எனில் \(P^{2}=200u-u^{2}\). வகையிட்டு \(200-2u=0\Rightarrow u=100\). எனவே \(x^{2}=100,\,y^{2}=100\Rightarrow x=y=10\), மீப்பெரு பெருக்கல் பலன் \(P=10\times10=100\). சரியான விடை விருப்பம் (1).

Explanation. \(y'=4ax^{3}+2bx=2x(2ax^{2}+b)\). வளைவு மாற்றப் புள்ளியைக் காண \(y''=12ax^{2}+2b=0\Rightarrow x^{2}=-\dfrac{b}{6a}\). \(ab>0\) எனில் \(a,b\) ஒரே குறியுடையன, எனவே \(-\dfrac{b}{6a}<0\) — மெய் தீர்வு இல்லை. ஆகவே வளைவு மாற்றப் புள்ளி (inflection point) இல்லை. சரியான விடை விருப்பம் (4).

Explanation. \(y'=3(x-1)^{2}\), \(y''=6(x-1)\). வளைவு மாற்றப் புள்ளியில் \(y''=0\Rightarrow x=1\), மேலும் \(x=1\)-ஐக் கடக்கும்போது \(y''\) குறி மாறுகிறது. \(x=1\)-ல் \(y=(1-1)^{3}=0\). எனவே வளைவு மாற்றப் புள்ளி \((1,0)\). சரியான விடை விருப்பம் (3).