Every multiple-choice question from வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல், Samacheer Kalvi) with the correct option highlighted and a clear, worked explanation. 25 questions in all — free to read in English and Tamil.
Q1
\(\vec a\) மற்றும் \(\vec b\) என்பன இணை வெக்டர்கள் எனில், \([\vec a,\ \vec c,\ \vec b\,]\) -ன் மதிப்பு
- A. \(2\)
- B. \(-1\)
- C. \(1\)
- D. \(0\)Correct
Explanation. ஒரு திசையிலி முப்பெருக்கல் \([\vec a,\ \vec c,\ \vec b\,]\) என்பது \(\vec a\cdot(\vec c\times\vec b)\). \(\vec a\) மற்றும் \(\vec b\) இணையாக இருப்பதால் இம்மூன்று வெக்டர்களும் ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன (ஒரு தள வெக்டர்கள்). ஒரு தள வெக்டர்களின் திசையிலி முப்பெருக்கல் எப்போதும் \(0\) ஆகும். எனவே சரியான விடை \(0\).
Q2
\(\vec\beta\) மற்றும் \(\vec\gamma\) ஆகியவை அமைக்கும் தளத்தில் \(\vec\alpha\) அமைந்துள்ளது எனில்,
- A. \([\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=1\)
- B. \([\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=-1\)
- C. \([\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=0\)Correct
- D. \([\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=2\)
Explanation. \(\vec\alpha\) என்பது \(\vec\beta,\vec\gamma\) அமைக்கும் தளத்தில் இருந்தால், மூன்று வெக்டர்களும் ஒரே தளத்தில் (ஒரு தள வெக்டர்கள்) இருக்கின்றன. ஒரு தள வெக்டர்களுக்கான தேவையான நிபந்தனை அவற்றின் திசையிலி முப்பெருக்கல் \([\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=0\) என்பதே. எனவே சரியான விடை \([\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=0\).
Q3
\(\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=0\) எனில், \([\vec a,\vec b,\vec c\,]\) -ன் மதிப்பு
- A. \(|\vec a|\,|\vec b|\,|\vec c|\)Correct
- B. \(\dfrac{1}{3}|\vec a|\,|\vec b|\,|\vec c|\)
- C. \(1\)
- D. \(-1\)
Explanation. கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகள் \(\vec a,\vec b,\vec c\) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து (மியூச்சுவல்லி ஆர்த்தோகனல்) என்பதைக் காட்டுகின்றன. செங்குத்து வெக்டர்களுக்கு \(|[\vec a,\vec b,\vec c\,]| = |\vec a|\,|\vec b|\,|\vec c|\) ஆகும்; இது அவை அமைக்கும் செவ்வகத் திண்மத்தின் கன அளவைக் குறிக்கும். எனவே சரியான விடை \(|\vec a|\,|\vec b|\,|\vec c|\).
Q4
\(\vec b\) -க்கு செங்குத்தாகவும் \(\vec c\) -க்கு இணையாகவும் உள்ள வெக்டர் \(\vec a\) என்றவாறுள்ள ஒரலகு வெக்டர்கள் \(\vec a,\vec b,\vec c\) எனில், \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)\) -க்குச் சமமானது
- A. \(\vec a\)
- B. \(\vec b\)Correct
- C. \(\vec c\)
- D. \(\vec 0\)
Explanation. வெக்டர் முப்பெருக்கல் விரிவு: \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)=(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\vec c\). \(\vec a\perp\vec b\) ஆகையால் \(\vec a\cdot\vec b=0\). \(\vec a\) மற்றும் \(\vec c\) இணை ஒரலகு வெக்டர்கள் ஆகையால் \(\vec a\cdot\vec c=1\). எனவே \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)=(1)\vec b-(0)\vec c=\vec b\). சரியான விடை \(\vec b\).
Q5
\([\vec a,\vec b,\vec c\,]=1\) எனில், \(\dfrac{\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)}{(\vec c\times\vec a)\cdot\vec b}+\dfrac{\vec b\cdot(\vec c\times\vec a)}{(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c}+\dfrac{\vec c\cdot(\vec a\times\vec b)}{(\vec c\times\vec b)\cdot\vec a}\) -ன் மதிப்பு
- A. \(1\)Correct
- B. \(-1\)
- C. \(2\)
- D. \(3\)
Explanation. திசையிலி முப்பெருக்கலின் சுழற்சிப் பண்பால், \(\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)=\vec b\cdot(\vec c\times\vec a)=\vec c\cdot(\vec a\times\vec b)=(\vec c\times\vec a)\cdot\vec b=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=[\vec a,\vec b,\vec c\,]=1\). முதல் இரு உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் \(\dfrac{1}{1}=1\). மூன்றாம் உறுப்பின் பகுதி \((\vec c\times\vec b)\cdot\vec a=[\vec c,\vec b,\vec a]=-[\vec a,\vec b,\vec c\,]=-1\); எனவே அந்த உறுப்பு \(\dfrac{1}{-1}=-1\). கூட்டுத்தொகை \(1+1-1=1\). சரியான விடை \(1\).
Q6
\(\hat i+\hat j,\ \hat i+2\hat j,\ \hat i+\hat j+\pi\hat k\) என்ற வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு
- A. \(\dfrac{\pi}{2}\)
- B. \(\dfrac{\pi}{3}\)
- C. \(\pi\)Correct
- D. \(\dfrac{\pi}{4}\)
Explanation. கன அளவு \(=\big|[\,\hat i+\hat j,\ \hat i+2\hat j,\ \hat i+\hat j+\pi\hat k\,]\big|\). இதை அணிக்கோவையாக எழுத: \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 1 & \pi\end{vmatrix}\). மூன்றாம் நிரலின் வழியே விரித்தால் \(=\pi\,(1\cdot 2-1\cdot 1)=\pi(2-1)=\pi\). எனவே கன அளவு \(\pi\). சரியான விடை \(\pi\).
Q7
\(\vec a,\ \vec b\) என்பன \([\vec a,\ \vec b,\ \vec a\times\vec b\,]=\dfrac{1}{4}\) எனுமாறுள்ள ஒரலகு வெக்டர்கள் எனில், \(\vec a\) மற்றும் \(\vec b\) ஆகியவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்
- A. \(\dfrac{\pi}{6}\)Correct
- B. \(\dfrac{\pi}{4}\)
- C. \(\dfrac{\pi}{3}\)
- D. \(\dfrac{\pi}{2}\)
Explanation. \([\vec a,\vec b,\vec a\times\vec b\,]=(\vec a\times\vec b)\cdot(\vec a\times\vec b)=|\vec a\times\vec b|^2\). ஒரலகு வெக்டர்களுக்கு \(|\vec a\times\vec b|=\sin\theta\), எனவே \(\sin^2\theta=\dfrac14\), அதாவது \(\sin\theta=\dfrac12\) (கோணம் கூர்ங்கோணம்). எனவே \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\). சரியான விடை \(\dfrac{\pi}{6}\).
Q8
\(\vec a=\hat i+\hat j+\hat k,\ \vec b=\hat i+\hat j,\ \vec c=\hat i\) மற்றும் \((\vec a\times\vec b)\times\vec c=\lambda\vec a+\mu\vec b\) எனில், \(\lambda+\mu\) -ன் மதிப்பு
- A. \(0\)Correct
- B. \(1\)
- C. \(6\)
- D. \(3\)
Explanation. முதலில் \(\vec a\times\vec b=\begin{vmatrix}\hat i & \hat j & \hat k\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{vmatrix}=-\hat i+\hat j\). பின் \((\vec a\times\vec b)\times\vec c=(-\hat i+\hat j)\times\hat i=-\hat k\) (ஏனெனில் \(\hat j\times\hat i=-\hat k,\ \hat i\times\hat i=\vec 0\)). \(\lambda\vec a+\mu\vec b=(\lambda+\mu)\hat i+(\lambda+\mu)\hat j+\lambda\hat k\). \(\hat k\) கெழுவைப் பொருத்த: \(\lambda=-1\); \(\hat i\) கெழு: \(\lambda+\mu=0\Rightarrow\mu=1\). எனவே \(\lambda+\mu=0\). சரியான விடை \(0\).
Q9
\(\vec a,\vec b,\vec c\) என்பன \([\vec a,\ \vec b,\ \vec c\,]=3\) எனுமாறுள்ள ஒரு தளம் அமையா மூன்று பூச்சியமற்ற வெக்டர்கள் எனில், \(\{[\vec a\times\vec b,\ \vec b\times\vec c,\ \vec c\times\vec a\,]\}^2\) -ன் மதிப்பு
- A. \(81\)Correct
- B. \(9\)
- C. \(27\)
- D. \(18\)
Explanation. நன்கறியப்பட்ட முற்றொருமை \([\vec a\times\vec b,\ \vec b\times\vec c,\ \vec c\times\vec a\,]=[\vec a,\vec b,\vec c\,]^2\). \([\vec a,\vec b,\vec c\,]=3\) ஆகையால் \([\vec a\times\vec b,\ \vec b\times\vec c,\ \vec c\times\vec a\,]=3^2=9\). கோரப்பட்ட மதிப்பு \(9^2=81\). சரியான விடை \(81\).
Q10
\(\vec a,\vec b,\vec c\) என்பன \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)=\dfrac{\vec b+\vec c}{\sqrt2}\) எனுமாறுள்ள ஒரு தளம் அமையா மூன்று ஒரலகு வெக்டர்கள் எனில், \(\vec a\) மற்றும் \(\vec b\) ஆகியவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்
- A. \(\dfrac{\pi}{2}\)
- B. \(\dfrac{3\pi}{4}\)Correct
- C. \(\dfrac{\pi}{4}\)
- D. \(\pi\)
Explanation. விரிவாக்கம்: \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)=(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\vec c\). இது \(\dfrac{1}{\sqrt2}\vec b+\dfrac{1}{\sqrt2}\vec c\) -க்குச் சமம். ஒரு தளம் அமையா \(\vec b,\vec c\) கெழுக்களை ஒப்பிட்டால் \(\vec a\cdot\vec c=\dfrac{1}{\sqrt2}\) மற்றும் \(-(\vec a\cdot\vec b)=\dfrac{1}{\sqrt2}\Rightarrow \vec a\cdot\vec b=-\dfrac{1}{\sqrt2}\). ஒரலகு வெக்டர்களுக்கு \(\cos\theta=\vec a\cdot\vec b=-\dfrac{1}{\sqrt2}\), எனவே \(\theta=\dfrac{3\pi}{4}\). சரியான விடை \(\dfrac{3\pi}{4}\).
Q11
\(\vec a\times\vec b,\ \vec b\times\vec c,\ \vec c\times\vec a\) ஆகியவற்றை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு \(8\) கன அலகுகள் எனில், \((\vec a\times\vec b)\times(\vec b\times\vec c),\ (\vec b\times\vec c)\times(\vec c\times\vec a)\) மற்றும் \((\vec c\times\vec a)\times(\vec a\times\vec b)\) ஆகியவற்றை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு
- A. \(8\) கன அலகுகள்
- B. \(512\) கன அலகுகள்
- C. \(64\) கன அலகுகள்Correct
- D. \(24\) கன அலகுகள்
Explanation. \([\vec a\times\vec b,\ \vec b\times\vec c,\ \vec c\times\vec a\,]=[\vec a,\vec b,\vec c\,]^2=8\). புதிய வெக்டர்களின் முப்பெருக்கல் \([(\vec a\times\vec b)\times(\vec b\times\vec c),\ \dots\,]=\big([\vec a\times\vec b,\ \vec b\times\vec c,\ \vec c\times\vec a\,]\big)^2=8^2=64\). எனவே கன அளவு \(64\) கன அலகுகள். சரியான விடை \(64\) கன அலகுகள்.
Q12
\(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\) என்பன \((\vec a\times\vec b)\times(\vec c\times\vec d)=\vec 0\) எனுமாறுள்ள வெக்டர்கள் என்க. \(\vec a,\vec b\) என்ற ஒரு ஜோடி வெக்டர்களாலும் மற்றும் \(\vec c,\vec d\) என்ற ஒரு ஜோடி வெக்டர்களாலும் அமைக்கப்படும் தளங்கள் முறையே \(P_1\) மற்றும் \(P_2\) எனில், இத்தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்
- A. \(0^\circ\)Correct
- B. \(45^\circ\)
- C. \(60^\circ\)
- D. \(90^\circ\)
Explanation. \(\vec a\times\vec b\) என்பது \(P_1\) -ன் செங்குத்து; \(\vec c\times\vec d\) என்பது \(P_2\) -ன் செங்குத்து. \((\vec a\times\vec b)\times(\vec c\times\vec d)=\vec 0\) என்பது இவ்விரு செங்குத்துகள் இணை (கேராலல்) என்பதைக் காட்டுகிறது. செங்குத்துகள் இணையாக இருந்தால் தளங்கள் இணை; எனவே அவற்றுக்கிடைப்பட்ட கோணம் \(0^\circ\). சரியான விடை \(0^\circ\).
Q13
\(\vec a,\vec b,\vec c\) என்பன \(\vec b\cdot\vec c\neq 0\) மற்றும் \(\vec a\cdot\vec b\neq 0\) எனுமாறுள்ள மூன்று வெக்டர்கள் என்க. \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)=(\vec a\times\vec b)\times\vec c\) எனில், \(\vec a\) மற்றும் \(\vec c\) என்பவை
- A. செங்குத்தானவை
- B. இணையானவைCorrect
- C. \(\dfrac{\pi}{3}\) என்ற கோணத்தைத் தாங்குபவை
- D. \(\dfrac{\pi}{6}\) என்ற கோணத்தைத் தாங்குபவை
Explanation. இடப்பக்கம் \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)=(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\vec c\); வலப்பக்கம் \((\vec a\times\vec b)\times\vec c=-\vec c\times(\vec a\times\vec b)=(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec b\cdot\vec c)\vec a\). இவ்விரண்டையும் சமப்படுத்த: \(-(\vec a\cdot\vec b)\vec c=-(\vec b\cdot\vec c)\vec a\). \(\vec a\cdot\vec b\neq0,\ \vec b\cdot\vec c\neq0\) ஆகையால் \(\vec a\) மற்றும் \(\vec c\) ஒன்றுக்கொன்று மடங்காக இருக்கின்றன, அதாவது இணையானவை. சரியான விடை இணையானவை.
Q14
\(\vec a=2\hat i+3\hat j-\hat k,\ \vec b=\hat i+2\hat j-5\hat k,\ \vec c=3\hat i+5\hat j-\hat k\) எனில், \(\vec a\) -க்குச் செங்குத்தாகவும் \(\vec b\) மற்றும் \(\vec c\) என்ற வெக்டர்கள் உருவாக்கும் தளத்தில் அமைவதுமான வெக்டர்
- A. \(-17\hat i+21\hat j-97\hat k\)
- B. \(17\hat i+21\hat j-123\hat k\)
- C. \(-17\hat i-21\hat j+97\hat k\)
- D. \(-17\hat i+21\hat j-97\hat k\)Correct
Explanation. \(\vec a\) -க்குச் செங்குத்தாகவும் \(\vec b,\vec c\) தளத்தில் அமைவதுமான வெக்டர் \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)\) ஆகும். முதலில் \(\vec b\times\vec c=\begin{vmatrix}\hat i & \hat j & \hat k\\ 1 & 2 & -5\\ 3 & 5 & -1\end{vmatrix}=23\hat i-14\hat j-\hat k\). பின் \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)=\begin{vmatrix}\hat i & \hat j & \hat k\\ 2 & 3 & -1\\ 23 & -14 & -1\end{vmatrix}=-17\hat i+21\hat j-97\hat k\). சரியான விடை \(-17\hat i+21\hat j-97\hat k\).
Q15
\(\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+1}{-2},\ z=2\) மற்றும் \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{2y+3}{3}=\dfrac{z+5}{2}\) என்ற கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்
- A. \(\dfrac{\pi}{6}\)
- B. \(\dfrac{\pi}{4}\)
- C. \(\dfrac{\pi}{3}\)
- D. \(\dfrac{\pi}{2}\)Correct
Explanation. முதல் கோட்டின் திசை விகிதங்கள் \(\vec b_1=(3,-2,0)\). இரண்டாம் கோட்டை இயல்வடிவில் எழுத: \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+\tfrac32}{3/2}=\dfrac{z+5}{2}\), திசை விகிதங்கள் \(\vec b_2=(1,\tfrac32,2)\) அல்லது \((2,3,4)\). புள்ளிப்பெருக்கம் \(\vec b_1\cdot\vec b_2=3(2)+(-2)(3)+0(4)=6-6+0=0\). புள்ளிப்பெருக்கம் பூச்சியம் ஆகையால் கோடுகள் செங்குத்து; கோணம் \(\dfrac{\pi}{2}\). சரியான விடை \(\dfrac{\pi}{2}\).
Q16
\(\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-1}{-5}=\dfrac{z+2}{2}\) என்ற கோடு \(x+3y-\alpha z+\beta=0\) என்ற தளத்தின் மீது இருந்தால், பின்னர் \((\alpha,\beta)\) என்பது
- A. \((-5,5)\)
- B. \((-6,7)\)Correct
- C. \((5,-5)\)
- D. \((6,-7)\)
Explanation. கோடு தளத்தில் அமைய இரு நிபந்தனைகள்: (i) கோட்டின் திசை \((3,-5,2)\) தளத்தின் செங்குத்து \((1,3,-\alpha)\) -க்குச் செங்குத்து: \(3(1)+(-5)(3)+2(-\alpha)=0\Rightarrow 3-15-2\alpha=0\Rightarrow\alpha=-6\). (ii) கோட்டின் புள்ளி \((2,1,-2)\) தளத்தைச் சந்திக்கும்: \(2+3(1)-\alpha(-2)+\beta=0\Rightarrow 5+2\alpha+\beta=0\); \(\alpha=-6\) வைக்க \(5-12+\beta=0\Rightarrow\beta=7\). எனவே \((\alpha,\beta)=(-6,7)\). சரியான விடை \((-6,7)\).
Q17
\(\vec r=(\hat i+2\hat j-3\hat k)+t(2\hat i+\hat j-2\hat k)\) என்ற கோட்டிற்கும் \(\vec r\cdot(\hat i+\hat j)+4=0\) என்ற தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம்
- A. \(0^\circ\)
- B. \(30^\circ\)
- C. \(45^\circ\)Correct
- D. \(90^\circ\)
Explanation. கோட்டின் திசை \(\vec b=(2,1,-2),\ |\vec b|=3\). தளத்தின் செங்குத்து \(\vec n=(1,1,0),\ |\vec n|=\sqrt2\). கோடு–தள கோணம் \(\theta\) -க்கு \(\sin\theta=\dfrac{|\vec b\cdot\vec n|}{|\vec b|\,|\vec n|}=\dfrac{|2+1+0|}{3\sqrt2}=\dfrac{3}{3\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\). எனவே \(\theta=45^\circ\). சரியான விடை \(45^\circ\).
Q18
\(\vec r=(6\hat i-\hat j-3\hat k)+t(-\hat i+4\hat k)\) என்ற கோடு \(\vec r\cdot(\hat i+\hat j-\hat k)=3\) என்ற தளத்தை சந்திக்கும் புள்ளியின் அச்சுத்தூரங்கள்
- A. \((2,1,0)\)
- B. \((7,-1,-7)\)
- C. \((1,2,-6)\)
- D. \((5,-1,1)\)Correct
Explanation. கோட்டின் பொது புள்ளி \((6-t,\ -1,\ -3+4t)\). தளச் சமன்பாட்டில் வைக்க: \((6-t)+(-1)-(-3+4t)=3\Rightarrow 6-t-1+3-4t=3\Rightarrow 8-5t=3\Rightarrow t=1\). \(t=1\) -ஐ வைக்க புள்ளி \((6-1,\ -1,\ -3+4)= (5,-1,1)\). சரியான விடை \((5,-1,1)\).
Q19
ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து \(3x-6y+2z+7=0\) என்ற தளத்திற்கு உள்ள தொலைவு
- A. \(0\)
- B. \(1\)Correct
- C. \(2\)
- D. \(3\)
Explanation. புள்ளி \((x_0,y_0,z_0)\) -லிருந்து தளம் \(ax+by+cz+d=0\) -க்கு உள்ள தொலைவு \(\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\). ஆதிப்புள்ளி \((0,0,0)\) -க்கு: \(\dfrac{|7|}{\sqrt{9+36+4}}=\dfrac{7}{\sqrt{49}}=\dfrac{7}{7}=1\). சரியான விடை \(1\).
Q20
\(x+2y+3z+7=0\) மற்றும் \(2x+4y+6z+7=0\) ஆகிய தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு
- A. \(\dfrac{\sqrt7}{2\sqrt2}\)Correct
- B. \(\dfrac{7}{2}\)
- C. \(\dfrac{\sqrt7}{2}\)
- D. \(\dfrac{7}{2\sqrt2}\)
Explanation. இரு தளங்களும் இணை (செங்குத்துகள் \((1,2,3)\) மற்றும் \((2,4,6)=2(1,2,3)\)). இரண்டாம் தளத்தை \(2\) -ஆல் வகுக்க: \(x+2y+3z+\tfrac72=0\). இணைத் தளங்களுக்கிடைப்பட்ட தொலைவு \(\dfrac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{\left|7-\tfrac72\right|}{\sqrt{1+4+9}}=\dfrac{7/2}{\sqrt{14}}=\dfrac{7}{2\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt7}{2\sqrt2}\). சரியான விடை \(\dfrac{\sqrt7}{2\sqrt2}\).
Q21
ஒரு கோட்டின் திசைக்கொசைன்கள் \(\dfrac{1}{c},\ \dfrac{1}{c},\ \dfrac{1}{c}\) எனில்,
- A. \(c=\pm3\)
- B. \(c=\pm\sqrt3\)Correct
- C. \(c>0\)
- D. \(0
Explanation. திசைக்கொசைன்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை \(1\) ஆகும்: \(\left(\dfrac1c\right)^2+\left(\dfrac1c\right)^2+\left(\dfrac1c\right)^2=1\Rightarrow \dfrac{3}{c^2}=1\Rightarrow c^2=3\Rightarrow c=\pm\sqrt3\). சரியான விடை \(c=\pm\sqrt3\).
Q22
\(\vec r=(\hat i-2\hat j-\hat k)+t(6\hat j-\hat k)\) என்ற வெக்டர் சமன்பாடு குறிக்கும் நேர்க்கோட்டின் மீது உள்ள புள்ளிகள்
- A. \((0,6,-1)\) மற்றும் \((1,-2,-1)\)
- B. \((0,6,-1)\) மற்றும் \((-1,-4,-2)\)
- C. \((1,-2,-1)\) மற்றும் \((1,4,-2)\)Correct
- D. \((1,-2,-1)\) மற்றும் \((0,-6,1)\)
Explanation. \(t=0\) வைக்க புள்ளி \((1,-2,-1)\). \(t=1\) வைக்க புள்ளி \((1,\ -2+6,\ -1-1)=(1,4,-2)\). இவ்விரு புள்ளிகளும் கோட்டின் மீது அமைகின்றன. சரியான விடை \((1,-2,-1)\) மற்றும் \((1,4,-2)\).
Q23
ஆதியிலிருந்து \((1,1,1)\) என்ற புள்ளிக்கு உள்ள தொலைவானது \(x+y+z+k=0\) என்ற தளத்திலிருந்து அப்புள்ளிக்கு உள்ள தொலைவில் பாதி எனில், \(k\) -ன் மதிப்புகள்
- A. \(\pm3\)
- B. \(\pm6\)
- C. \(-3,9\)
- D. \(3,-9\)Correct
Explanation. ஆதியிலிருந்து \((1,1,1)\) -க்கு உள்ள தொலைவு \(=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3\). தளத்திலிருந்து \((1,1,1)\) -க்கு உள்ள தொலைவு \(=\dfrac{|1+1+1+k|}{\sqrt{1+1+1}}=\dfrac{|3+k|}{\sqrt3}\). கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை: \(\sqrt3=\dfrac12\cdot\dfrac{|3+k|}{\sqrt3}\Rightarrow |3+k|=2\cdot 3=6\). எனவே \(3+k=6\) அல்லது \(3+k=-6\), அதாவது \(k=3\) அல்லது \(k=-9\). சரியான விடை \(3,-9\).
Q24
\(\vec r\cdot(2\hat i-\lambda\hat j+\hat k)=3\) மற்றும் \(\vec r\cdot(4\hat i+\hat j-\mu\hat k)=5\) ஆகிய தளங்கள் இணை எனில், \(\lambda\) மற்றும் \(\mu\) -ன் மதிப்புகள்
- A. \(\dfrac{1}{2},\,-2\)
- B. \(-\dfrac{1}{2},\,2\)
- C. \(-\dfrac{1}{2},\,-2\)Correct
- D. \(\dfrac{1}{2},\,2\)
Explanation. இணைத் தளங்களுக்கு செங்குத்துகள் விகிதசமமாக இருக்கும்: \(\dfrac{2}{4}=\dfrac{-\lambda}{1}=\dfrac{1}{-\mu}\). \(\dfrac24=\dfrac12\). எனவே \(-\lambda=\dfrac12\Rightarrow\lambda=-\dfrac12\) மற்றும் \(\dfrac{1}{-\mu}=\dfrac12\Rightarrow-\mu=2\Rightarrow\mu=-2\). எனவே \(\lambda=-\dfrac12,\ \mu=-2\). சரியான விடை \(-\dfrac{1}{2},\,-2\).
Q25
ஆதியிலிருந்து \(2x+3y+\lambda z=1,\ \lambda>0\) என்ற தளத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் நீளம் \(\dfrac{1}{5}\) எனில், \(\lambda\) -ன் மதிப்பு
- A. \(2\sqrt3\)Correct
- B. \(3\sqrt2\)
- C. \(0\)
- D. \(1\)
Explanation. ஆதியிலிருந்து தளம் \(2x+3y+\lambda z-1=0\) -க்கு உள்ள செங்குத்துத் தொலைவு \(=\dfrac{|-1|}{\sqrt{4+9+\lambda^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{13+\lambda^2}}\). இது \(\dfrac15\) -க்குச் சமம்: \(\sqrt{13+\lambda^2}=5\Rightarrow 13+\lambda^2=25\Rightarrow\lambda^2=12\Rightarrow\lambda=2\sqrt3\) (ஏனெனில் \(\lambda>0\)). சரியான விடை \(2\sqrt3\).
