12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் — தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள்: ஆன்லைன் பயிற்சித் தேர்வு

Explanation. வடிவம் \(\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=\sin^{-1}\dfrac{u}{a}\) ஆகும். இங்கு \(4-9x^{2}=2^{2}-(3x)^{2}\), எனவே \(a=2,\;u=3x\) எனக் கொள்க. \(u=3x\Rightarrow du=3\,dx\) ஆதலால் தொகையீடு \(\dfrac{1}{3}\sin^{-1}\dfrac{3x}{2}\) ஆகும். எல்லைகளைப் பயன்படுத்த, \(x=\tfrac{2}{3}\) எனில் \(\sin^{-1}1=\tfrac{\pi}{2}\); \(x=0\) எனில் \(0\). எனவே மதிப்பு \(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{6}\). சரியான விடை தேர்வு (1).

Explanation. \(\lvert x\rvert\) என்பது துண்டுவாரியான சார்பு. \([-1,0]\) இல் \(\lvert x\rvert=-x\); \([0,2]\) இல் \(\lvert x\rvert=x\). எனவே தொகையீட்டை இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கலாம்: \(\displaystyle\int_{-1}^{0}(-x)\,dx+\int_{0}^{2}x\,dx\). முதல் பகுதி \(\left[-\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0}=\tfrac{1}{2}\); இரண்டாம் பகுதி \(\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=2\). கூட்டுத்தொகை \(\tfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}\). சரியான விடை தேர்வு (3).

Explanation. \(f(x)=\sin^{4}x\,\cos^{3}x\) எனில், \(\cos(\pi-x)=-\cos x\) மற்றும் \(\sin(\pi-x)=\sin x\) என்பதால் \(f(\pi-x)=\sin^{4}x\,(-\cos x)^{3}=-\sin^{4}x\,\cos^{3}x=-f(x)\). எனவே சார்பு \([0,\pi]\) இடைவெளியில் \(x=\tfrac{\pi}{2}\) ஐ மையமாகக் கொண்டு ஒற்றைச் சார்பு போல் செயல்படுகிறது; எதிரெதிர் பகுதிகள் ஒன்றையொன்று நீக்குகின்றன. ஆகவே \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{4}x\,\cos^{3}x\,dx=0\). சரியான விடை தேர்வு (3).

Explanation. இங்கு \(g(x)=\sin^{2}x\,\cos x\) என்பது சமச்சார்பு (\(g(-x)=g(x)\)), ஏனெனில் \(\sin^{2}(-x)=\sin^{2}x\) மற்றும் \(\cos(-x)=\cos x\). எனவே \(\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}=2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,\cos x\,dx\). \(u=\sin x,\;du=\cos x\,dx\) எனப் பதிலிட, எல்லைகள் \(0\) முதல் \(1\) வரை: \(2\displaystyle\int_{0}^{1}u^{2}\,du=2\cdot\tfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\). சரியான விடை தேர்வு (4).

Explanation. காமா தொகையீடு: \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x}\,dx=\Gamma(n+1)=n!\). இங்கு \(n=4\), எனவே மதிப்பு \(4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24\). சரியான விடை தேர்வு (4).

Explanation. பொதுவான காமா வடிவம் \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-ax}x^{n}\,dx=\dfrac{n!}{a^{\,n+1}}\). இங்கு \(a=2,\;n=3\). எனவே மதிப்பு \(\dfrac{3!}{2^{4}}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}\). சரியான விடை தேர்வு (3).

Explanation. \(n\) ஒற்றைப்படை எண் (\(n=3\)) ஆக இருக்கும்போது \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}x\,dx=\dfrac{(n-1)(n-3)\cdots 2}{n(n-2)\cdots 3\cdot 1}\). \(n=3\) எனில் இது \(\dfrac{2}{3}\). (மாற்றுவழி: \(\cos^{3}x=\cos x(1-\sin^{2}x)\), \(u=\sin x\) எனப் பதிலிட \(\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}\).) சரியான விடை தேர்வு (3).

Explanation. \(m\) சமப்படை, \(n=0\) ஆக எடுத்துக்கொள்ள, \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{m}x\,dx=\dfrac{(m-1)(m-3)\cdots 1}{m(m-2)\cdots 2}\cdot\dfrac{\pi}{2}\). \(m=2\) எனில் இது \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{4}\). (மாற்றுவழி: \(\sin^{2}x=\tfrac{1-\cos 2x}{2}\) எனத் தொகையிட \(\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{4}\).) சரியான விடை தேர்வு (3).

Explanation. \(I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{dx}{1+\tan x}=\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}\,dx\). வரம்பிற்குட்பட்ட பண்பு \(\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\,dx=\int_{0}^{a}f(a-x)\,dx\) ஐப் பயன்படுத்த, \(x\to\tfrac{\pi}{2}-x\) எனில் \(\cos\) மற்றும் \(\sin\) இடம்மாறி \(I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx\). இரண்டையும் கூட்ட \(2I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}1\,dx=\tfrac{\pi}{2}\), எனவே \(I=\dfrac{\pi}{4}\). சரியான விடை தேர்வு (2).

Explanation. ஒற்றைச் சார்புக்கு \(f(-x)=-f(x)\) ஆதலால் \(\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0\). இங்கு \(\sin^{3}x\) ஒற்றைச் சார்பு, மேலும் \(x\cos^{2}x\) உம் ஒற்றைச் சார்பு (ஏனெனில் \(x\) ஒற்றை, \(\cos^{2}x\) சம), எனவே கூட்டுச் சார்பு ஒற்றைச் சார்பு; சமச்சீர் இடைவெளியில் தொகையீடு \(0\). சரியான விடை தேர்வு (1).

Explanation. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{r=1}^{n}\dfrac{r}{n}\) என்பது ரீமான் கூட்டுத்தொகையாக \(\displaystyle\int_{0}^{1}x\,dx=\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}\) ஆகும். எனவே \(18\times\tfrac{1}{2}=9\). சரியான விடை தேர்வு (4).

Explanation. \(x\)-அச்சிற்கு மேல் உள்ள பரப்பு \(\displaystyle\int_{1}^{2}y\,dx=\int_{1}^{2}x^{2}\,dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2}=\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}\) சதுர அலகுகள். சரியான விடை தேர்வு (2).

Explanation. பரப்பு \(\displaystyle\int_{0}^{2}2x\,dx=\left[x^{2}\right]_{0}^{2}=4\) சதுர அலகுகள். (இது அடிப்பக்கம் \(2\), உயரம் \(4\) கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பு \(\tfrac{1}{2}\cdot2\cdot4=4\) என்பதையும் உறுதிசெய்கிறது.) சரியான விடை தேர்வு (2).

Explanation. பரப்பு \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\left[\sin x\right]_{0}^{\pi/2}=\sin\tfrac{\pi}{2}-\sin 0=1-0=1\) சதுர அலகு. சரியான விடை தேர்வு (4).

Explanation. \([0,\pi]\) இல் \(\sin x\ge 0\) ஆனால் \([\pi,2\pi]\) இல் \(\sin x\le 0\). எனவே மொத்தப் பரப்பைக் காண மட்டுமதிப்பை எடுக்க வேண்டும்: \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx+\left|\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx\right|\). ஒவ்வொன்றும் \(\left[-\cos x\right]\) வழியாக \(2\). எனவே மொத்தம் \(2+2=4\) சதுர அலகுகள். சரியான விடை தேர்வு (4).

Explanation. நீள்வட்டத்தின் முதல் கால்பகுதிப் பரப்பு \(\displaystyle\int_{0}^{a}y\,dx=\int_{0}^{a}b\sqrt{1-\tfrac{x^{2}}{a^{2}}}\,dx=\dfrac{\pi ab}{4}\). சமச்சீர் காரணமாக மொத்தப் பரப்பு \(4\times\dfrac{\pi ab}{4}=\pi ab\) சதுர அலகுகள். சரியான விடை தேர்வு (4).

Explanation. \(y\)-அச்சைப் பொருத்திச் சுழற்றும்போது கன அளவு \(V=\pi\displaystyle\int_{0}^{a}x^{2}\,dy\). \(y=x^{2}\Rightarrow x^{2}=y\). எனவே \(V=\pi\displaystyle\int_{0}^{a}y\,dy=\pi\left[\dfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{a}=\dfrac{\pi a^{2}}{2}\) கன அலகுகள். சரியான விடை தேர்வு (3).

Explanation. காமாச் சார்பின் ஒரு முக்கிய மதிப்பு \(\Gamma\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\). இது \(\Gamma(n)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}\,dx\) இல் \(n=\tfrac{1}{2}\) வைத்து, \(x=t^{2}\) எனப் பதிலிட்டு காசியன் தொகையீடு \(\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,dt=\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\) ஐப் பயன்படுத்திப் பெறப்படுகிறது. சரியான விடை தேர்வு (4).

Explanation. முதல் கால்பகுதிப் பரப்பு \(\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx=\dfrac{\pi a^{2}}{4}\). வட்டம் இரு அச்சுகளையும் பொருத்து சமச்சீராக இருப்பதால் மொத்தப் பரப்பு \(4\times\dfrac{\pi a^{2}}{4}=\pi a^{2}\) சதுர அலகுகள். சரியான விடை தேர்வு (2).

Explanation. சமச்சார்புக்கு \(f(-x)=f(x)\). \(\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=\int_{-a}^{0}f(x)\,dx+\int_{0}^{a}f(x)\,dx\) என எழுதி, முதல் தொகையீட்டில் \(x\to -x\) பதிலிட்டால் அது \(\int_{0}^{a}f(x)\,dx\) ஆக மாறும். எனவே மொத்தம் \(2\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\,dx\). சரியான விடை தேர்வு (1).